Définition#
💡 Définition
Une suite $(u_n)$ est dite arithmético-géométrique s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1}=au_n+b$$
Remarques#
- Les suites arithmético-géométriques sont donc des suites definies par récurrence c’est à dire que $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction affine sur $\mathbb{R}$.
- Si $a=1$, la suite est arithmétique de raison $b$
- Si $b=0$, la suite est géométrique de raison $a$
Étude d’une suite arithmético-géométrique#
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq1$ et $b\neq0$ et $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=au_n+b$ et par son premier terme $u_0$. On cherche à donner une expression explicite de $(u_n)$ c’est à dire exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Méthode#
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On considère la fonction $f$ de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, $f(x)=ax+b$.
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On cherche le réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=\alpha$ ($\alpha$ est appelé point fixe de $f$).
$$a\alpha+b=\alpha \iff \alpha=\frac{b}{1-a}$$ -
On définit une suite $(v_n)$ telle que pour tout entier naturel $n$,
$$ \begin{equation} v_n=u_n-\alpha \label{defvn} \end{equation} $$ -
On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
\[ v_{n+1}=u_{n+1}-\alpha \iff v_{n+1}=au_n+b-\alpha\] -
Or d’après l’équation~$\eqref{defvn}$, $u_n=v_n+\alpha$, donc :
$$ \begin{align} v_{n+1} &=a(v_n+\alpha)+b-\alpha\\ &=av_n + a\alpha+b-\alpha\\ &=av_n + \alpha(a-1) +b \end{align} $$Et comme d’après \eqref{def_alpha}, $\alpha(a-1)=-b$,
\[ v_{n+1}=av_n\] -
Donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $a$ et de premier terme $v_0=u_0-\alpha$ et pour tout entier naturel $n$,
\[v_n=(u_0-\alpha)a^n\].
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Enfin en réutilisant \eqref{defvn},
\[\forall n\in\mathbb{N},u_n=(u_0-\alpha)a^n+\alpha\]