Soit la suite definie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
$$\begin{align} u_{n+1}=0,9u_n-0,3 \end{align}$$1#
a. Démontrer par récurence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=2\times0,9^n-3$.#
- Initialisation : $u_0=2\times0,9^0-3=2-3=-1$
- Hypothèse de récurence : $u_n=2\times0,9^n-3$
- Hérédité : montrons que $u_{n+1}=2\times0,9^{n+1}-3$
b. En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $-3\lt u_n\leqslant -1$.#
On sait que $0\lt 0,9^n \leqslant 1$ car $0\lt 0,9 \lt 1$ et $n\in \mathbb{N}$.
Donc $0\lt 2\times0,9^n \leqslant 2$ et $-3\lt 2\times 0,9^n -3 \leqslant -1$.
C’est à dire $-3\lt u_n\leqslant -1$.
c. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.#
La suite $(v_n)$ définie par $v_n=2\times 0,9^n$ est une suite géoétrique de terme initial $2$ et de raion $0,9$ donc elle est strictement décroissante. La suite $(u_n)$ est une suite translatée de $(v_n)$ elle est donc aussi strictement décroissante.
d. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge et préciser sa limite.#
La suite $(u_n)$ est strictement décroissante et minoréee donc elle converge.
Comme la suite $(v_n)$ est une suite géometrique de raison comprise strictement entre $-1$ et $1$, elle converge vers $0$ donc$(u_n)$ converge vers $-3$.
2. On se propose d’étudier la fonction $g$ définie sur $]-3;1]$ par :#
$$ g(x)=\ln(0,5x+1,5)-x $$a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de -1)#
- limites : Quand $x$ tends vers $-3$ avec $x>-3$, $0,5x+1,5$ tend vers $0$ en étant positif et $x$ tends vers $-3$ donc $ \lim\limits_{x\to-3} ln(0,5x+1,5) = -\infty$.
Ainsi :
$\begin{align*} \lim_{x\to-3}(x)&=\lim_{x\to-3}ln(1,5x+1,5)-\lim_{x\to-3}x\\ &=-\infty \end{align*}$
- Variations : déterminons $g'$ la fonction dérivée de $g$ :
On sait que si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive, $(ln(u))'=\frac{u'}{u}$.
Donc
$$\begin{align*} g'(x)&=\frac{0,5}{0,5x+1,5}-1\\ &=\frac{1}{x+3}-1\\ &=-\frac{x+2}{x+3} \end{align*}$$$g'$ est négative sauf entre $-3$ (où elle n’est pas définie) et $-2$ donc la fonction $g$ est croissante sur $]-3;-2]$ et décroissante sur$[2;-1]$.
- image de $-1$ :
$g(-1)=\ln(0,5\times(-1)+1,5)-(-1)=\ln(1)+1=1$
d. En déduire que l’équation $g(x)=0$ a exactement une solution que l’on notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-3}$.#
La fonction $g$ est monotone sur ]-3;-2] donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend une seule fois chaque valeurs de l’intervalle $]-\infty;g(2)]$ or d’après le tableau de variation, $g(2)$ est supérieur à $1$ donc supérieur à $0$. Ainsi $g$ s’annule une fois et une seule sur l’intervalle $]-3;-2]$.
Par ailleurs, la fonction $g$ est strictement décroissante sur $[-2;-1]$ et $g(-2)>g(-1)>0$, donc la fonction $g$ ne s’annule pas sur $[-2;-1]$.
Donc l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-3;-1]$.
En utilisant une calculatrice, on trouve : $ -2,8895<\alpha<-2,8885 $
3. Dans la suite de l’exercice, on considère la suite $(v_n)$ definie pour tout $n\in\mathbb{N}$, par#
$$ v_n=\ln(0,5u_n+1,5)$$.
a. En utilisant la formule donnée à la question 1.a., démontrer que la suite $v$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$#
$\begin{align*} v_n&=\ln(0,5\times(0,9^n-3)+1,5)\\ &=\ln(0,5\times0,9^n-0,5\times3+1,5)\\ &=\ln(0,5\times0,9^n)\\ &=\ln(0,5)+\ln(0,9)\times n \end{align*}$
Donc $v$ est une suite arithmétique de raison $\ln(0,9)$ et de terme initial $-\ln(2)$.
b. Soit $n$ un entier naturel. Démontrer que $u_n=v_n$ si et seulement si $g(u_n)=0$#
On va montrer que $v_n-u_n=g(u_n) \forall n \in\mathbb{N}$ on aura ainsi montré que $v_n=u_n\iff g(u_n)=0$.
$v_n-u_n=\ln(0,5u_n+1,5)-u_n$ et comme par définition, $g(x)=\ln(0,5x+1,5)-x$, $v_n-u_n=g(u_n)$.
Donc pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $v_n-u_n=g(u_n)$ et en particulier $v_n-u_n=0$ si et seulement si $g(u_n)=0$.
Ainsi $u_n=v_n$ si et seulement si $g(u_n)=0$.